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Abb. 11(b) sagt uns, dass G0 − G1 = A(P1 ) − A(P0 ) = 4 · A(Dreieck EF K) = 2 · A(Viereck EF F E ) > 2 · A(Kreisabschnitt EKF ) 1 1 = · 4 · A(Kreisabschnitt EKF ) = (A(C) − A(P0 )), 2 2 =G0 also ist G0 − G1 > 12 G0 gezeigt und das ist nichts anderes als G1 < 1 G0 . 2 Ganz analog erhält man nun für beliebiges n Gn − Gn+1 = A(Pn+1 ) − A(Pn ) > 1 1 (A(C) − A(Pn )) = Gn , 2 2 wobei A(C) − A(Pn ) die Summe der Flächen der 2n+1 Kreissegmente ist, die von den Ecken von Pn abgeschnitten werden. 2 zu finden ist.

Diese Definition ist ein Durchbruch ganz besonderer Art, denn was geschieht bei zwei inkommensurablen Größen a und b? Dann teilt die Eudoxos’sche Definition doch die Menge der rationalen Zahlen m/n in zwei disjunkte Teile, nämlich einmal die Menge U , für die die erste Möglichkeit der Definition 5 in Betracht kommt. Das sind alle die m/n, für die a m < n · a > m · b, also n b gilt. Da a und b inkommensurabel sein sollen, kommt die mittlere Möglichkeit in Definition 5 nicht in Frage, aber die letzte Möglichkeit.

104]. Ein schon bei den Griechen gut bekanntes solches Größensystem waren die Kontingenzwinkel, die man auch Hornwinkel nennt [Thiele 1999, S. ]. Es handelt sich dabei um Winkel zwischen zwei sich berührenden Kreisen oder zwischen einem Kreis und seiner Tangente, wie in Abb. 13 gezeigt. Im dritten Buch der Elemente Euklids [Euklid 1980, III, 16] findet sich ein Satz zu Kontingenzwinkeln: Eine rechtwinklig zum Kreisdurchmesser vom Endpunkt aus gezogene gerade Linie muß außerhalb des Kreises fallen, und in den Zwischenraum der geraden Linie und des Bogens läßt sich keine weitere gerade Linie nebenhineinziehen; der Winkel des Halbkreises ist größer als jeder spitze geradlinige Winkel, der Restwinkel kleiner.

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